Preface vii Acknowledgements ix List of Abbreviations and Symbols x 1 Sequence and Function Spaces over the Non-newtonian ... 1 1.1 Some Basic Results on the Spaces of Sequences ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Preliminaries, background and notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Geometric complex field and related properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3 Geometric metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.4 Convergence and completeness in (GC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.5 Sequence spaces over C(G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Some Results on Sequence Spaces with ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1 Preliminaries, backround and notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.2 Non-newtonian real field and related properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.3 Non-newtonian metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.4 Convergence and completeness in (NC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3 Sequence Spaces Over the Non-newtonian ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4 Certain Non-newtonian Complex Sequence Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4.1 Preliminaries, background and notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.6 Some Sequence Spaces and Matrix Transformations in ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.6.2 Preliminaries, background and notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.6.3 Characterizations of some matrix classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.6.4 Multiplicative dual summability methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2 Application of Geometric Calculus in Numerical Analysis and Difference Sequence Spaces 39 2.1 Introduction and Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2 α-generator and Geometric Real Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2.1 Some useful relations between geometric operations and ordinary arithmetic operations . 40 2.3 Geometric Sequence Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.4 Dual Spaces of ℓG ∞(□G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.4.1 Geometric form of Abel’s partial summation formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.5 α-, β- and γ-duals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.6 Some Applications of Geometric Difference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.6.1 Geometric Newton-Gregory backward interpolation formula . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.6.2 Advantages of geometric interpolation formulae over ordinary interpolation formulae . . 55 2.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3 Bigeometric Integral Calculus 56 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.2 Geometric Arithmetic and Geometric Real Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.3 Definitions and Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.3.1 G-derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.3.2 Some standard G-derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 iv 3.4 G-Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.4.1 Some standard G-integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.4.2 Integration by transforming the function to the form ex f′(x) f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.4.3 Integration by the relation between G-integral and ordinary integral . . . . . . . . . . . 58 3.4.4 Properties of G-integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.5 Definite Bigeometric Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.5.1 Properties of definite G-integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.5.2 Definite bigeometric integral as a limit of geometric sum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4 Bigeometric Calculus and Its Applications 67 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.1.1 Some useful relations between geometric operations and ordinary arithmetic operations . 67 4.2 Definitions and Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.2.1 Geometric binomial formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.2.2 Geometric real number line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.2.3 Geometric coordinate system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.2.4 Geometric factorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.2.5 Generalized geometric forward difference operator □n G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.2.6 Generalized Geometric Backward Difference Operator ∇n G . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.3 Main Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.3.1 Geometric Pythagorean triplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.3.2 Geometric trigonometric ratios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.3.3 Relation between geometric trigonometry and ordinary trigonometry . . . . . . . . . . . 71 4.3.4 Geometric trigonometric identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.3.5 G-limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.3.6 G-continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.4 Basic Properties of G-Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.4.1 G-derivative and its interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.4.2 Relation between G-derivative and ordinary derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.4.3 G-derivatives of some standard functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.4.4 Geometric Taylor’s series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.5 Some Applications of G-Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.5.1 Expansion of some useful functions in Taylor’s product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5 Solution of Bigeometric-Differential Equations by Numerical Methods 87 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.2 Basic Definitions and Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.2.1 Geometric factorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.2.2 Geometric Newton-Gregory formula for forward interpolation . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.2.3 Geometric Newton-Gregory formula for backward interpolation . . . . . . . . . . . . . . 88 5.2.4 G-derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.2.5 Some standard G-derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.2.6 Geometric Taylor’s series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.3 Numerical Methods and Solution of G-Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.3.1 G-Euler’s method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.3.2 Taylor’s G-series method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.3.3 G-Runge-Kutta method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.3.4 G-Runge-Kutta method of order four . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6 Certain Spaces of Functions over the Set of Non-Newtonian Complex Numbers 100 6.1 Preliminaries, Backround and Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 6.2 The Set of ∗-Complex Numbers and ∗-Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.3 Continuous Function Space over the Field C∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 6.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 7 Multiplicative Type Complex Calculus 110 7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 7.2 Definitions, Methods, and Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 7.2.1 A multiplicative group, an additive group, and an isomorphism . . . . . . . . . . . . . . 111 7.2.2 Remoteness of two values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 7.2.3 Change rate of a function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 7.2.4 Derivative and integral operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 7.2.5 Euler’s simple method in differential equation solving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 7.2.6 Some fundamental theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 7.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 8 Function Sequences and Series ... 124 8.1 Introduction and Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 8.2 ∗-Function Sequences and Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 8.2.1 ∗-function sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 8.2.2 ∗-function series and consequences of ∗-uniform convergence . . . . . . . . . . . . . . . . 129 8.2.3 ∗-uniform convergence and ∗-continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 8.2.4 ∗-uniform convergence and ∗-integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 8.2.5 ∗-Uniform Convergence and ∗-Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 9 On Non-newtonian Power Series and its Applications 139 9.1 Introduction and Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 9.2 Results and Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 9.2.1 ∗-Dirichlet’s and ∗-Abel’s tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 9.2.2 ∗-power series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Bibliography 150 Index 153

• Calculus

• Differential calculus & equations

• Tertiary Education (US: College)

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